एक रेखा एक घन के विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ और $\delta$ कोण बनाती है। सिद्ध कीजिए कि $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma + \cos^{2} \delta = \frac{4}{3}$।

(N/A) एक घन एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है जिसकी लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई समान होती है।
मान लीजिए कि घन के शीर्ष इस प्रकार हैं कि विकर्ण $OE, AF, BG,$ और $CD$ हैं।
मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a), D(a,a,0), E(a,a,a), F(0,a,a), G(a,0,a)$ हैं।
चारों विकर्णों के दिशा सदिश इस प्रकार हैं:
$d_1 = (a, a, a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$
$d_2 = (-a, a, a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$
$d_3 = (a, -a, a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$
$d_4 = (a, a, -a) \implies \text{इकाई सदिश } \hat{d}_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$
मान लीजिए दी गई रेखा की दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
रेखा और इकाई सदिश $\hat{d}$ वाले विकर्ण के बीच के कोण की कोज्या डॉट प्रोडक्ट द्वारा दी जाती है: $\cos \theta = |l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$।
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}(l+m+n)$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}(-l+m+n)$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}(l-m+n)$,और $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}(l+m-n)$।
इन मानों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2]$
$= \frac{1}{3} [ (l^2+m^2+n^2 + 2lm + 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 + 2lm - 2mn - 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm - 2mn + 2nl) + (l^2+m^2+n^2 - 2lm + 2mn - 2nl) ]$
$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ]$
चूँकि $l^2+m^2+n^2 = 1$,इसलिए योग $\frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$ है।